【校招VIP】二叉树基础概念及基本操作- 校招VIP

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一、树
1. 概念
是一种非线性的数据结构，根在上，叶子往下延展。
2. 特点
（1）具有根节点与叶子节点，并且根节点唯一，即无前驱节点
（2）叶子节点可以作为“根节点”向下延展叶子
（3）递归定义

注：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

二、树有关重要概念

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6
树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点
孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

三、二叉树
1. 概念
一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
（1）或者为空
（2）或者是由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的二叉树组成

由图可知：
（1）二叉树不存在度大于 2 的结点
（2）二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，一次二叉树是有序树
注：对于任意的二叉树都是有以下几种情况复合而成的：

2. 两种特殊的二叉树
（1）满二叉树：一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为k，且结点总数是2^k-1 ，则它就是满二叉树。
（2）完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3. 二叉树的性质（重要）
（1）若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2^(i-1) 个结点
注：最多情况即满二叉树，而满二叉树每一层结点个数是数列 { 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, ... , 2^n }
（2）若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)
注：最大节点数即为数列求和，2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k -1) = 2^k - 1
（3）对于任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为n0，度为2的非叶结点个数为n2，则有n0 = n2 + 1
注：公式推导：
设二叉树的总共有N个结点，度为0的结点个数为n0，度为1的结点个数为n1，度为2的结点个数为n2，于是N = n0 + n1 + n2；
又：一棵N个结点的树有N-1条边，度为0的结点能产生0条边，度为1的结点能产生1条边，度为2的结点能产生2*n2条边，于是N - 1 = n1 + 2*n2；
所以 n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 + 1 ；
所以 n0 = n2 + 1，证毕。
（4）具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log( n + 1) 向上取整
注：2^k - 1 = n -> k = log( n + 1)
（5）（暂时不作解释，后续再说）对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

4. 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法（后续介绍）
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

5. 二叉树的基本操作
5.1 二叉树的遍历
5.1.1 前中后序遍历
1. 遍历概念
遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中每一个结点做一次且仅做一次的访问。访问结点的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印节点内容、节点内容加1）

2. 前序遍历：访问根结点 --> 根的左子树 --> 根的右子树
先说结论：前中后序遍历的路线是一样的，不一样的只在于访问根节点的顺序不一样，最重要的是要抓住“递归”二字，并且要有这样的概念，根节点的子树再作为根节点看它（根节点的子树）的左右子树，访问完毕（递）后回退（归）

//1. 前序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

3. 中序遍历：根的左子树 -->根结点 --> 根的右子树

// 中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val +" ");
        inOrder(root.right);
    }

4. 后序遍历：根的左子树 --> 根的右子树-->根结点

// 后序遍历
    public void postOrde(TreeNode root) {
        if (root == null){
            return;
        }
        postOrde(root.left);
        postOrde(root.right);
        System.out.print(root.val +" ");
    }

5.2 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
    public static int nodeSize = 0;
 
    public int size(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
        return nodeSize;
    }
 
    public int size2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left) + size(root.right) + 1;
    }
 
 
    // 获取叶子节点的个数
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
 
    public static int leafSize = 0;
 
    public void getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        if (root.left == null && root.right == null) {
            leafSize++;
        }
        getLeafNodeCount2(root.left);
        getLeafNodeCount2(root.right);
 
    }
 
    // 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
        if (root == null || k <= 0) {
            return 0;
        }
        if (k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getKLevelNodeCount(root.right, k - 1);
 
    }
 
    // 获取二叉树的高度     时间复杂度：O(n)
    public int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
    }
 
    // 检测值为value的元素是否存在
    public TreeNode find(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode ret1 = find(root.left, val);
        if (ret1 != null) {
            return ret1;
        }
        TreeNode ret2 = find(root.right, val);
        if (ret2 != null) {
            return ret2;
        }
        return null;
    }
    //层序遍历
    public void levelOrder(TreeNode root){
        if (root == null){
            return;
        }
        Queue<TreeNode> qu = new LinkedList<>();
        qu.offer(root);
        while (!qu.isEmpty()){
            TreeNode cur = qu.poll();
            System.out.print(cur.val+ " ") ;
            if (cur.left != null){
                qu.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null){
                qu.offer(cur.right);
            }
        }
    }
 
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null){
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> qu = new LinkedList<>();
        qu.offer(root);
        while (!qu.isEmpty()){
            TreeNode cur = qu.poll();
            if (cur != null){
                qu.offer(cur.left);
                qu.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }
        //判断队列剩下的值是否有 非null 的数据
        while (!qu.isEmpty()){
            TreeNode pop = qu.poll();
            if (pop != null){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }