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在带权图中，把一个顶点从v0到图中任意一个顶点vi的一条路径（可能不止一条）所经过边上的权值之和，定义为该路径的带权路径长度，把带权路几个长度最短的那条路径称为最短路径。

带权有向图的最短路径分为两类 ：

（1）单源最短路径，即求图中某一个顶点到其他各个顶点的最短路径。

（2）求每对顶点间的最短路径

（----可能有人看完者定义就受不了了，什么东西-----）

看下图，你要去学校，有如下路线，假设权值为路程，你肯定会走第三条，因为路程最短；假设权值为所花费人民币，你仍有可能选择，第三条，因为花钱少。

你是不觉得这有啥bb的，看下图假如你要从南宁去哈尔滨，你就不能一下找到最短路径。这就是研究这个问题的意义的价值。比如实时交通陆路线，工程中的修桥架线等都有用到。

一、迪杰特斯拉算法（求单源最短路径算法）

求带权有向图某个源点到其余各个顶点的最短路径。常用Dijksta算法。

先来看实例

对下图用该算法，求从顶点1到其余顶点的最短路径

接着看下图

初始，从v1出发，

第一轮：检测v1与其余各个顶点的当前路程，v1要到v3,v4不可直接到达即为∞，到v2距离为10，到v5距离为5 ，选出v1->v5

第二轮：检测与v5其余各个顶点的当前路程，v1->v5->2 为8，v1->v5->v3为14，v1->v5->v4为7，选出v1->v5->v4

第三轮：检测与v4其余各个顶点的当前路程，v1->v5->v2为8，v1->v5->v4->v3为13，选出v1->v5->v2

第四轮：检测与v4其余各个顶点的当前路程，v1->v5->v2为8，v1->v5->v4->v3为13，选出v1->v5->v2->v3

再来看这该死的过程

算法步骤；(1)初始化，集合S[]初始为{0},dist[i]=arcs[0][i],i=1,2,3...

                 (2)从顶点集合V-S出发，满足dist的初始值dist[j]=Min{dist[i] | vi∈V-S}，vj 就是当前求得的一条从v0出发的最短路径的 终点， 令S=S∪{j}

              （3）修改从v0出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径：若dist[j]+arcs[j][k]<dist[k],则令dist[k]=dist[j]+arcs[j][k]。

              （4）重复（2）（3）操作共n-1次，直到所有顶点都包含在S中。

做个例题：

求出下图从顶点1到其他各个顶点的最短路径

这个表从第一列第一个往下开始看，直到该列完成。再从下一列第一个往下看，依次看。

第一轮从1出发可以直接到达的是1和5，写上路径和值，其余写无穷；

第一轮选出最短，得到v1->v5,所以v5加入集合S{1，5}

第二轮，把上一轮得到结果的平移抄过去，已经加入集合S的不用抄。现在从5开始判断，5能到达2距离为6，现在的v1->v5->v2为10相比上一轮的v1->v2为5，所以那个为止仍取原来的。

无论1还是5都不能直达3，所以写无穷。对于4，上一轮无法直达，现在5可直达4，此条路径v1->v5->v4为11。

因为结点5已经在集合S中，所以此处为空。

之前无法直达6，现在5可直达6，v1->v5->6为9。所以第二轮中选出最短的，得到v2加入集合S{1，5，2}

第三轮：因为2已经在集合中，所以此处为空。因为2可直达3，v1->v2->v3为7，比原来的无穷小所以此处写v1->v2->v3

因为5可直达4，v1->v5->v4为11，相比之前的11一样，所以此处仍为v1->v5->v4

因为5已经在集合中，此处为空。

因为5能直达6，和上一轮一样9，此处仍为 v1->v5->v6

所以第三轮，选出最短v1->v2->v3，将3加入集合S 有{1，5，2，3}

第四轮：因为2，3已在集合中，所以对应位置为空。看从3出发，能否得到更短的结果，不能。再看4，2可到4 ，v1->v2->v4为14，5可到4，v1->v5->v4为11 所以此处仍为v1->v5->v4

因为5在集合中，所以此处为空。

再看6，5可直达6，v1->v5->v6为9

第四轮选出最短为9，将6加入集合S， 得到{1，5，2，3，6}

第五轮：2，3已在集合中对应为空。此时达到4的最短为v1->v5->v4。5，6已在几何中，对应位置为空。

第五轮选出最小，将4加入集合 得到

{1，5，2，3，6，4}

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注：当边上有负权值,迪杰特斯拉算法不再适用。

二、Floyd求各顶点之间最短路径

求各顶点之间最短路径：已知一个各边权值均大于0的带权有向图，对每对顶点，要求找出vi与vj之间的最短路径和最短路径长度。

还是来看题，

上图为一个带权有向图，及其邻接矩阵.如下为执行过程。

如图，  

写出A^{(0)},和Path^{(0)}

接着写出A(1)和Path(1) ,将第一行和第一列全copy过来，检测经过顶点1能否改善各顶点间的路径长度

若比原来短，则更改对应位置值，否则保留原来的值。

例如，之前3->2的路径值为5，经过1为3->1->2的路径值为4，更改为4

之前，2->4路径值为2，经过1为2->1->4的路径值为4为5，仍保留2.

路径值更新的地方，对应的Path中对应位置值更改为同一列中的第一行的值

接着写出A(2)和Path(2) ,将第二行和第二列copy过来，检测经过顶点2能否改善各顶点间的路径长度