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希尔排序

1959年由唐纳德·希尔（Donald Shell）提出希尔排序。

希尔排序的思想：把数组中的元素看作是一个矩阵，分成m列，逐列进行排序（一般采用插入排序），m从某个整数逐渐减为1，当m为1时，整个序列将完全有序。因此，希尔排序也被称为递减增量排序（Diminishing Increment Sort）。

矩阵的列数取决于步长序列（step sequence），比如，如果步长序列为{1,5,19,41,109,…}，就代表依次分成109列、41列、19列、5列、1列进行排序。不同的步长序列，执行效率也不同。

实例

希尔本人给出的步长序列是n/2^k（其中n为数组长度），例如要对下面的数组进行排序，n为16，步长序列是{1, 2, 4, 8}：

首先分成8列进行排序：

然后再分成4列进行排序：

再分成2列进行排序：

最后分成一列进行排序：

最后数组中的元素就变成有序的了。

疑惑：直接分成一列进行排序不就行了，为什么要分成这么多列？不难看出来，从8列变为1列的过程中，逆序对的数量在逐渐减少，而希尔排序底层会使用插入排序，插入排序的时间复杂度与逆序对的数量成正比，这样就可以提高插入排序的效率。

因此希尔排序底层一般使用插入排序对每一列进行排序，也很多资料认为希尔排序是插入排序的改进版。

代码实现

protected void sort() {

        List<Integer> stepSequence = shellStepSequence();
        
        for (Integer step : stepSequence) {
            sort(step);
        }

    }

    private void sort(Integer step) {

        // 对每一列进行插入排序
        for (int col = 0; col < step; col++) {

            // 插入排序
            for (int begin = col + step; begin < array.length; begin += step) {
                int cur = begin;
                E v = array[cur];
                while (cur > col && cmp(v, array[cur - step]) < 0) {
                    array[cur] = array[cur - step];
                    cur -= step;
                }
                array[cur] = v;
            }
        }
    }

    private List<Integer> shellStepSequence() {

        // n/2^k
        int n = array.length;
        List<Integer> list = new ArrayList<>();

        while ((n >>= 1) > 0) {
            list.add(n);
        }

        return list;
    }

复杂度与稳定性

最好情况是步长序列只有1，且序列几乎有序，时间复杂度为O(n)。

希尔本人给出的步长序列，最坏情况时间复杂度是 O(n^2)。

希尔排序的时间复杂度与步长序列有关。