文章声明：转载来源：https://blog.csdn.net/m0_37686205/article/details/90182779

动态规划的思想
它的思想就是把一个大的问题进行拆分，细分成一个个小的子问题，且能够从这些小的子问题的解当中推导出原问题的解。同时还需要满足以下两个重要性质才能进行动态规划

· 最优子结构性: 既所拆分的子问题的解是最优解。
· 子问题重叠性质: 既在求解的过程当中，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的解题效率

动态规划实例1：斐波拉契数列
计算斐波那契数列：
斐波那契数列指的是这样一个数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368…
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
代码如下：

//动态规划实现斐波拉契数列
    function feiBoLaQie(n) {
        //创建一个数组，用于存放斐波拉契数组的数值
        let val = [];
        //将数组初始化，将数组的每一项都置为0
        for(let i =0 ;i<=n;i++){
            val[i] = 0;
        }
        if (n==1 || n==2){
            return 1;
        } else{
            val[1] = 1;
            val[2] = 2;
            for (let j =3; j<=n;j++){
                val[j] = val[j-1] + val[j-2];
            }
        }
        return val[n-1];
    }

    console.log(feiBoLaQie(40));//102334155

动态规划实例2：爬梯子问题
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2 输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
a、1 阶 + 1 阶 b、2 阶

示例 2：
输入： 3 输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
a、1 阶 + 1 阶 + 1 阶 b、1 阶 + 2 阶 c、2 阶 + 1 阶
走1阶台阶只有一种走法，但是走2阶台阶有两种走法（如示例1），如果n是双数，我们可以凑成m个2级台阶，每个m都有两种走法，如果n是单数，那么我们可以凑成m个2级台阶加上一个1级台阶，这样就似乎于一个排列组合题目了，但是开销貌似比较大。
代码如下：

//爬楼梯问题
   function climbStairs(n) {
       if (n === 1 || n === 2) {
           return n;
       }

       var ways = [];
       ways[0] = 1;
       ways[1] = 2;

       for(var i=2; i           ways[i]=ways[i-1] + ways[i-2];
       }

       return ways[n-1];
   }
   console.log(climbStairs(3));//3

动态规划实例3：所有路径问题
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:
输入: m = 3, n = 2 输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
a、向右 -> 向右 -> 向下 b、向右 -> 向下 -> 向右 c、向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:
输入: m = 7, n = 3 输出: 28
相信沿用问题一的套路很多人已经知道该怎么办了，从一个二维数组的左上（0，0）走到右下（m,n）有多少种走法，且只能往右和往下走，那么如果要走到（m,n），那么我们的上一步只能是（m-1,n）或者（m,n-1），所以走到（m,n）的所有走法就是走到（m-1,n）的所有走法+走到(m,n-1)的所有走法，即可以得到状态转换方程：

ways[m][n] = ways[m-1][n] + ways[m][n-1]

但是，这个问题还有一些其他的问题限制需要我们考虑到，即走到两侧的时候，只会有一个方向的走法，（上方只会有ways[m-1][n]一个方式，左侧只会有ways[m][n-1]一个方式）
即下图：

我们需要对这两种方式进行限制，在这里我在外围再扩展了一圈，将整个方格扩展为**(m+1)*(n+1)**的方格，来避开限制.
当然也可以直接限制（后续会讲到），但是将其所有的值都设置为0，即相当于设置了限制。

实现代码为：

//动态规划实现所有路径问题
   function countPaths(m, n) {
       var ways = new Array(m+1);
       for (var i=0; i<=m; i++) {
           ways[i] = new Array(n+1);
       }

       //上方扩展一行，使其值为0
       for(var i=0; i<=n; i++){
           ways[0][i] = 0;
       }

       //边上扩展一列，使其值为0
       for(var j=0; j<=m; j++){
           ways[j][0] = 0;
       }

       //设置初始值，起点走法为1，只能一步一步走
       ways[1][1]=1;

       for (var a=1; a<=m; a++) {
           for (var b=1; b<=n; b++) {
               if (a===1 && b===1) {
                   continue;
               }
               //套用状态转换方程
               ways[a][b] = ways[a][b-1] + ways[a-1][b];
           }
       }

       return ways[m][n];
   }

   console.log(countPaths(3,2));//3
   console.log(countPaths(7,3));//28

动态规划实例4：最小路径和
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例: 输入:[ [1,3,1], [1,5,1], [4,2,1] ]
输出: 7

解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
这个问题与问题二及其相似，但是其涉及到一个最优解的问题，现在每一个点都有一个类似权重的值，我们要使这个值最小，其实用问题二的想法，我们很快就能得到答案：
走到(m,n)只能从(m-1,n)和(m,n-1)两个地方走过来，那么要保证(m,n)的权重最小，那么我们只需要选择走到(m-1,n)和（m，n-1）权重较小的那一边即可，
那么我们就可以得到新的状态转移方程：

sum[m][n] = MIN(sum[m-1][n], sum[m][n-1]) + table[m][n]

即走到当前点的权重=走到前一步权重的较小值+当前点的权重，并且该问题也有针对边上元素的特殊处理。
代码为：

//动态规划实现最小路径和
   function minPathSum(grid) {
       if (grid && grid.length) {
           //权重存储数组
           var sum = new Array(grid.length);
           for (var i=0; i               sum[i] = new Array(grid[0].length);
           }

           //起点初始权重确定值
           sum[0][0]=grid[0][0];

           for (var i=0; i               for (var j=0; j                   if (i===0 && j===0) {
                       continue;
                   }
                   //边上的权重处理
                   if (i-1<0) {
                       sum[i][j] = sum[i][j-1] + grid[i][j];
                   } else if(j-1<0) {
                       sum[i][j] = sum[i-1][j] + grid[i][j];
                   } else {
                       sum[i][j] = Math.min(sum[i-1][j], sum[i][j-1]) + grid[i][j];
                   }
               }
           }

           return sum[grid.length-1][grid[0].length-1];
       } else {
           throw new Error('Fuck!');
           return ;
       }
   }

   var grid = [
       [1,3,1],
       [1,5,1],
       [4,2,1]
   ]
   console.log(minPathSum(grid));//7