树相关算法(BBT/BST/B树/R树)简介- 校招VIP

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Algorithm：树相关算法(BBT/BST/B树/R树)简介(二叉查找树、二叉查找树的插入节点、二叉查找树的删除、二叉树的遍历、平衡二叉树)C++语言实现

树的基础知识

树Tree是一种抽象数据类型ADT，或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。
它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：
(1)、每个节点有零个或多个子节点；
(2)、没有父节点的节点称为根节点；
(3)、每一个非根节点有且只有一个父节点；
(4)、除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

1、二叉树的遍—前序、中序、后序
二叉树的遍历，都要从先从左区域开始遍历。

1、前序遍历、中序遍历、后序遍历

注：根结点Degree、左子树L、右子树R
先(根)序遍历(根左右DLR)：
中(根)序遍历(左根右LDR)：BST的中序一定是递增有序的序列！
后(根)序遍历(左右根LRD)：
结论：
(1)、二叉树结点的DLR、LDR、LRD中，所有叶子结点的先后顺序都是一致的，因为所有的叶节点都是从左到右的！

前序遍历：先(根)序遍历，根左右DLR
根节点→前序遍历左子树(DLR)→前序遍历右子树(DLR)
中序遍历：中(根)序遍历，左根右LDR。BST的中序一定是递增有序的序列！
中序遍历左子树(LDR)→根节点→中序遍历右子树(LDR)
(1)、比如35是因为3就是节点5的左子数；67是因为7是6的右子树，所以先遍历6的左子树即空→根节点6→右子树7
后序遍历：后(根)序遍历，左右根LRD
后序遍历左子树(LRD)→后序遍历右子树(LRD)→根节点

2、相关结论

(1)、二叉树结点的DLR、LDR、LRD中，所有叶子结点的先后顺序都是一致的，因为所有的叶节点都是从左区域到右区域的！

3、问题类型
(1)、通过前序中序求后序

一、二叉树
1、CBT—FBT一定是CBT

2、BST—二叉查找树BST的增删改查

1、BST的查找节点

查找某节点p的过程如下：
n 将当前节点cur赋值为根节点root；
n 若p的值小于当前节点cur的值，查找cur的左子树；
n 若p的值不小于当前节点cur的值，查找cur的右子树；
n 递归上述过程，直到cur的值等于p的值或者cur为空；
o 当然，若节点是结构体，注意定义“小于”“不小于”“等于”的具体函数。

2、BST的插入节点

原理要符合二叉树的建立。

n若当前的二叉查找树为空，则插入的元素为根节点，
n若插入的元素值小于根节点值，则将元素插入到左子树中，
n若插入的元素值不小于根节点值，则将元素插入到右子树中，
n递归上述过程，直到找到插入点为叶子节点。
3、BST的删除节点
记待删除的节点为p，分三种情况进行处理

待删除点为叶子节点：p为叶子节点，直接删除该节点，再修改p的父节点的指针
待删除点只有一个孩子：若p为单支节点（即只有左子树或右子树），则将p的子树与p的父亲节点相连，删除p即可。
待删除点只有一个孩子：若p的左子树和右子树均不空，则找到p的直接后继d(p的右孩子的最左子孙)，因为d一定没有左子树，所以使用删除单支节点的方法：删除d，并让d的父亲节点dp成为d的右子树的父亲节点；同时，用d的值代替p的值；
(1)、对偶的，可以找到p的直接前驱x(p的左孩子的最右子孙)，x一定没有右子树，所以可以删除x，并让x的父亲节点成为x的左子树的父亲节点。

3、BBT—平衡二叉树BBT→AVL/RBT
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个变体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。
平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。这个方案很好的解决了二叉查找BST树退化成链表的问题，把插入、查找、删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。

1、BBT的动机
对一棵查找树（search tree）进行查询/新增/删除等动作, 所花的时间与树的高度h 成比例, 并不与树的容量 n 成比例。如果可以让树维持矮矮胖胖的好身材, 也就是让h维持在O(lg n)左右, 完成上述工作就很省时间。能够一直维持好身材, 不因新增删除而长歪的搜寻树, 叫做balanced search tree（平衡树）。

2、BBT的特点：
BBT是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。
BBT常用算法有红黑树、AVL、Treap、伸展树、SBT等。
最小BBT的节点的公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+1，这个类似于一个递归的数列，可以参考Fibonacci数列，1是根节点，F(n-1)是左子树的节点数量，F(n-2)是右子树的节点数量。
0、AVL和RBT红黑树
0、AVL和红黑树对比

两者都属于自平衡二叉树。
两者查找,插入，删除的时间复杂度相同。
1、AVL树—可理解为BBT
AVL树查找的时间复杂度为O(logN)，因为树一定是平衡的。但是由于插入或删除一个节点时需要扫描两趟树，依次向下查找插入点，依次向上平衡树，AVL树不如红黑树效率高，也不如红黑树常用。
AVL树是平衡二叉搜索树的鼻祖：AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树。

AVL应用 1、Windows NT内核中广泛存在。

2、红黑树

红黑树的平衡是在插入和删除的过程中取得的。对一个要插入的数据项，插入程序要检查不会破坏树一定的特征。如果破坏了，程序就会进行纠正，根据需要更改树的结构。通过维持树的特征，保持了树的平衡。

红黑树并不追求“完全平衡 ”：它只要求部分地达到平衡要求，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。
红黑树能够以 O(log2 n) 的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。
任何不平衡都会在三次旋转之内解决。

1、BBT的旋转
高度不平衡节点的两颗子树的高度差2，只考虑该不平衡节点本身，分四种情况分别讨论。
(1)、四种分类：左左、左右、右左、右右；
(2)、四种旋转：对称与旋转，左左和右右对称；左右和右左对称
左左和右右两种情况是对称的，这两种情况的旋转算法是一致的，只需要经过一次旋转就可以达到目标，称之为单旋转。
左右和右左两种情况也是对称的，这两种情况的旋转算法也是一致的，需要进行两次旋转，称之为双旋转。

2、BBT的插入
BBT插入的方法和BST基本一致。区别是，插入完成后需要从插入的节点开始，维护一个到根节点的路径，每经过一个节点都要维持树的平衡。维持树的平衡要根据高度差的特点选择不同的旋转算法。